Trigonometrie v GPS

Globální poziční systém (GPS) poskytuje elektronickým navigačním zařízením údaje o poloze, které pomáhají řídit letadla, lodě, vozidla i chodce k jejich cíli. GPS využívá poměrně složité výpočty, založené převážně na trigonometrických principech, které používají i geodeti. Satelity ve vesmíru vysílají přesně časované signály, jež přijímač zpracuje a určí zeměpisnou šířku, délku i nadmořskou výšku s přesností na několik metrů.

Satelity

Celý systém GPS tvoří 24 satelitů na oběžné dráze Země, z nichž každý vysílá unikátní kódovaný signál. Každý satelit disponuje atomovým hodinovým zdrojem, který měří čas s přesností až 8 miliardtin sekundy za den (zdroj: GPS.gov). Pro výpočet polohy musí přijímač současně zachytit signály ze čtyř různých satelitů. Představte si čáry spojující přijímač se satelity – tvoří strany několika trojúhelníků, které zařízení využívá při trigonometrických výpočtech.

Čas a vzdálenost

Pro trigonometrické určení polohy potřebujete znát délku alespoň jedné strany trojúhelníku. GPS zařízení získává tuto informaci měřením doby, kterou potřebuje signál od satelitu k dosažení přijímače. Vzhledem k tomu, že rádiové signály se šíří rychlostí světla, vypočítá se vzdálenost vynásobením měřené doby rychlostí světla.

Věta kosinů

Trigonometrický vztah známý jako věta kosinů umožňuje přijímači spočítat vzdálenost od každého satelitu. Pro GPS lze tuto větu zapsat takto:

d² = R_e² + R_s² – 2·R_e·R_s·cos L

Kde d je vzdálenost mezi satelitem a přijímačem, R_e poloměr Země, R_s poloměr satelitní dráhy a L úhel mezi čarami spojujícími střed Země se satelitem a se samotným přijímačem.

Průnik koulí

Vzdálenost od jednoho satelitu určuje, že se přijímač nachází uvnitř představované koule s tímto poloměrem. Druhý satelit omezuje polohu na kružnici, kde se dvě takové koule protínají. Třetí satelit vytvoří třetí kouli a jejich společný průnik dává jedinečný bod – skutečnou polohu. Čtvrtý satelit navíc určuje výšku nad mořem, čímž dokončuje trojrozměrnou lokalizaci.